#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
#                   Cvičení 8  Výběrové charakteristiky
#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------


# Nezobrazuje-li se vám text korektně, nastavte File \ Reopen with Encoding... na UTF-8
# Pro zobrazení obsahu skriptu použijte CTRL+SHIFT+O
# Pro spouštění příkazů v jednotlivých řádcích použijte CTRL+ENTER


#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 1.Příklad 
#

#a) P(8000 < X < 8200) =

pnorm(8200, mean=8100, sd=360) - pnorm(8000, mean=8100, sd=360) # = 0.2188


#b) P(80 000 000 < X < 82 000 000) =

pnorm(82000000, mean=81000000, sd=36000) - pnorm(80000000, mean=81000000, sd=36000)  # = cca 1


#c) P(95 < X < 105) =

pnorm(105, mean=100, sd=40/9) - pnorm(95, mean=100, sd=40/9) # = 0.739411


#d) P(95 < X < 105) =

pnorm(105, mean=100, sd=4/90) - pnorm(95, mean=100, sd=4/90) # = cca 1


pnorm(100.05, mean=100, sd=4/90) - pnorm(99.95, mean=100, sd=4/90) # = cca 1

#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 2.Příklad 
#

#a) P(X < 240) =

mi = 35*7 # = 245 minut
sig = 2*sqrt(35)  # = cca 11,83 minut

pnorm(240, mean=mi, sd=sig) # = 0.3363019

pnorm(240, mi, sig) # = 0.3363019

pnorm(240, 35*7, 2*sqrt(35)) # = 0.3363019



#b)

pnorm(6, mean=7, sd=1/3) # 0.001349898


#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 3.Příklad 
#

#a) EX = n*mí = 100*2,5 = 250


#b) P(X > 300) = 1 - P(X<300) =

1 - pnorm(280, mean=250, sd=50/sqrt(12)) # 0.01883346



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 4.Příklad 
#


#a) Odhadněte pomocí CLV: P(X > 120 000) = 1 - P(X< 120 000) =

1 - pnorm(120000, mean=100000, sd=2000*sqrt(50)) # 0.0786496


b) Určete P(X > 120 000)
# X ... doba do k-tého úspěchu -> gamma(shape=k, rate=lambda)

#např. doba do prvního úspěchu =   X_i  ->  Exp(1/lambda) = Erlang(k,1/lambda)

# => Například: P(X_i < 2000) = 
pexp(2000, 1/2000) #0.6321206
pgamma(2000, shape = 1, rate = 1/2000) #0.6321206
pgamma(2000,1, 1/2000) #0.6321206

# X = suma_{i=1}^{50} X_i...doba do konce životnosti 50-té žárovky => 
# X -> Erlang(k,1/lambda) = Erlang(50,1/2000) (protože EX_i = 2000 = 1/lambda)
#
#proto P(X > 120 000) = 1 - P(X< 120 000) =

1 - pgamma(120000, shape = 50, rate = 1/2000 ) # 0.08440668



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 5.Příklad 
#


#a) P(X = x) = dbinom(x, n, p) 

dbinom(60, 375, 0.15) # = 0.04856644

#P(X >= 60) = 1- P(X <= 59) = 

1 - pbinom(59, 375, 0.15) # = 0.3145267


#b) aproximace CLV:

# n = 375 > 9/(0.15*0.85) = 70.58824 => můžeme použít CLV

mi = 375*0.15
sig = sqrt(375*0.15*0.85)

pnorm(60.5, mi, sig) - pnorm(59.5, mi, sig) # = 0.04977433


#P(X >= 60) = 1- P(X <= 59) = 

1 - pnorm(59, mi, sig) # = 0.3145267



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 6.Příklad 
#


#a) 
#   aproximace CLV:

mi = 200*0.06
sig = sqrt(200*0.06*0.94)

1 - pnorm(10.5, mi, sig)  # = 0.6724247

# "přesný výpočet":


# P(X >10) = 1 - dbinom(10, n, p) 

1 - pbinom(10, 200, 0.06) # = 0.6592909




#b) 
#   aproximace CLV:

# n = 490 > 9/(0.06*0.94) = 159.5745


pnorm(0.07,0.06,sqrt(0.06*0.94/490)) # = 0.8243553


# "přesný výpočet":

# P(X =< 34) = 


pbinom(34,490,0.06) # = 0.8346685



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 7.Příklad 
#

pt(sqrt(12)/3, 11) # = 0.8636592




#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 8.Příklad 
#
pchisq(17.71875,14) # = 0.7801079