# ......................................................................................
# ..............Upravené..........Cvičení 3 - Diskrétní náhodná veličina........................
# ..................Martina Litschmannová, Adéla Vrtková, Michal Béreš..................
# ......................................................................................

# Nezobrazuje-li se vám text korektně, nastavte File \ Reopen with Encoding... na UTF-8
# Pro zobrazení obsahu skriptu použijte CTRL+SHIFT+O
# Pro spouštění příkazů v jednotlivých řádcích použijte CTRL+ENTER


#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 1.Příklad 
# Náhodná veličina $X$ nabývá hodnot $x_i \in \{1,2,3,4,5,6\}$ s pravděpodobností 
# $P(X = x_i) = \frac{1}{6}$. (X ... číslo, které padne na férové kostce).

#-----------------------------------------------------------------------------------
# a) Načrtněte graf pravděpodobnostní funkce $P_{X}(x)$.

x = c(1,2,3,4,5,6)
P = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)
sum(P)
P

plot(x, P)

plot(x, P, type="h")
plot(x, P, type="l")
plot(x, P, type="b")
plot(x, P, type="o")
plot(x, P, type="n")

# Začínáme s grafikou -> graf dále upravujeme - používáme další parametry
plot(x, P, 
     ylim=c(0,0.5),                    # parametr pro rozsah osy y
     ylab="P(x)",                      # parametr pro popis osy y
     main="Pravděpodobnostní funkce",  # parametr pro název grafu
     type="p",                         # určuje o jaký typ grafu se jedná (p -> points, bodový)
     pch=19,                           # parametr pro vzhled zobrazovaných bodů
     col=c("blue","red","red","green"),      # barvy
     cex=2,                            # parametr pro upravení velikosti celého grafu (ve smyslu zvětší 2x)
     cex.lab=1.3,                      # parametr zvlášť pro velikost názvů os
     cex.axis=1.3,                     # parametr zvlášť pro velikost hodnot na osách
     cex.main=1.3)                    # parametr pro velikost názvu grafu

text(4.5,0.0,"X ... Hozené číslo", cex=1.3, col="blue", adj=c(0,0))

# Pravděpodobnostní funkce
graff = function(x,p){
  plot(x, p, # plná kolečka - v skutečných hodnotách
       ylab='P(x)',xaxt='n',pch=19,col=c("red"), ylim=c(0,max(p)), main="Pravděpodobnostní funkce") 
  lines(c(min(x)-100,max(x)+100),c(0, 0))
  for(i in 1:length(x)){
    lines(c(min(x)-100,max(x)+100), c(p[i],p[i]),
          type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # horizontální grid
    lines(c(x[i],x[i]), c(-0.1,1.1), 
          type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # vertikální grid
  }
  par(new=TRUE) # že chceme kreslit do jednoho grafu
  plot(x, p*0, type="b", # prázdná kolečka - tam kde je definovaná nenulová hodnota
       ylab='P(x)', xaxt='n', col=c("red"), ylim=c(0,max(p)))
  par(new=TRUE) #červná osa vlevo od nejmenší hodnoty
  d=c(x[1] - 0.1*(x[length(x)] - x[1]), x[1])
  lines(d, d*0, type="b",ylab='',xlab='', col=c("red"), ylim=c(0,max(p)))
  par(new=TRUE) #červná osa vpravo od nejmenší hodnoty
  d=c(x[length(x)], x[length(x)] + 0.1*(x[length(x)] - x[1]))
  lines(d, d*0, type="b",ylab='',xlab='', col=c("red"), ylim=c(0,max(p)))  
  axis(1, at=x,labels=x) # nastavení hodnot na X
  axis(4, at=p,labels=p, las=2, cex.axis=0.7, tck=-.01) # a Y
}

graff(x, P)


#  Poznámky k úvodu do grafiky 
#  základem jsou tzv. high-level funkce, které vytvoří graf (tj. otevřou grafické okno a
# vykreslí dle zadaných parametrů)
#  na ně navazují tzv. low-level funkce, které něco do aktviního grafického okna
# přidají, samy o sobě neotevřou nové
#  výše použitá funkce "text" je low-level funkce - přidá text do stávajícího aktivního
# grafického okna
#  další low-level funkce - např. abline, points, lines, legend, title, axis ... které
# přidají přímku, body, legendu...
#  tzn. před použitím "low-level" funkce je potřeba, volat "high-level" funkci (např.
# plot, boxplot, hist, barplot, pie,...)
# 
#  další grafické parametry naleznete v nápovědě
#  nebo např. zde http://www.statmethods.net/advgraphs/parameters.html
#  nebo zde https://flowingdata.com/2015/03/17/r-cheat-sheet-for-graphical-parameters/
#  nebo http://bcb.dfci.harvard.edu/~aedin/courses/BiocDec2011/2.Plotting.pdf



#-----------------------------------------------------------------------------------
# b) Určete předpis a načrtněte graf distribuční funkce $F_{X}(x)$.


P
F = cumsum(P)
F

plot(x, F, type="s") # zjednodušený graf distribuční funkce

# Funkce pro výpočet a vykreslení distribuční funkce
grafF = function(x,p){
    F = cumsum(p)
    F_ext = c(0, F) # natáhneme F o 0 na začátku
    x_ext = c(x[1]-1, x, x[length(x)]+1) # a x z obou stran
       
    plot(x, F, ylab="F(x)", col=c("red"), xaxt='n', ylim=c(0,1), # prazdná kolečka
         type='p', main="Distribuční funkce") 
    par(new=TRUE) # že chceme kreslit do jednoho grafu
    plot(x, F_ext[1:(length(F_ext)-1)], # plná kolečka
          col=c("red"), ylab="F(x)", xaxt='n', ylim=c(0,1), type='p', pch=19)
    
    for(i in 1:(length(x_ext)-1)){
        lines(c(min(x)-100,max(x)+100), c(F_ext[i],F_ext[i]),
              type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # horizontální grid
        lines(c(x_ext[i],x_ext[i]), c(-0.1,1.1), 
              type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # vertikální grid
        lines(x_ext[i:(i+1)], c(F_ext[i],F_ext[i]), col=c("red")) # graf - čáry
    }
    axis(1, at=x,labels=x) # nastavení hodnot na X
    axis(4, at=F,labels=F, las=2, cex.axis=0.7, tck=-.01) # a Y
    return(F)
}

grafF(x,P)



#-----------------------------------------------------------------------------------
# d) Určete střední hodnotu náhodné veličiny $X$ (značíme $EX$).
# 


x*P
EX = sum(x*P)
EX

#\item[d)] Určete střední hodnotu náhodné veličiny $X^2$ (značíme $EX^2$).

y = (x*x)
y

EY = sum((x*x)*P)
EY


#-----------------------------------------------------------------------------------
# e) Určete rozptyl náhodné veličiny $X$ (značíme $DX$).
#

#první možnost:
Di = (x-EX)^2*P
Di
DX = sum(Di)
DX

#druhá možnost: DX = EY - (EX)^2
DX = sum((x*x)*P) -(sum(x*P))^2 
DX


#-----------------------------------------------------------------------------------
# f) Určete směrodatnou odchylku náhodné veličiny $X$ (značíme $\sigma_X$).
# 

sigma.X = sqrt(DX)
sigma.X


# Funkce pro výpočet základních číselných charakteristik
souhrn=function(x,p){
  EX = sum(x*p)
  EX2 = sum(x*x*p)  
  DX = EX2-EX^2
  sigma.X = sqrt(DX)
  # zápis výsledků do tabulky
  tab = rbind(EX, DX, sigma.X)
  tab.popis = c("str. hodnota","rozptyl","smer. odchylka")
  rownames(tab) = tab.popis
  return(tab)
}

souhrn(x, P)



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 2.Příklad 

# Náhodná veličina $X$ je dána tabulkou pravděpodobností:

# \begin{tabular}{|r|l|l|l|l|}
# \hline
# $x_i$        & 0   & 1   & 2   & 3   \\ \hline
# $P(X = x_i)$ & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 \\
# \hline
# \end{tabular}

x = c(0,1,2,3)
x
P = c(0.1, 0.2,0.3,0.4 )
P

#-----------------------------------------------------------------------------------
# a) Načrtněte graf pravděpodobnostní funkce $P_{X}(x)$.

graff(x,P)


#-----------------------------------------------------------------------------------
# b) Určete předpis a načrtněte graf distribuční funkce $F_{X}(x)$.

grafF(x,P)

#-----------------------------------------------------------------------------------
# c) Určete střední hodnotu náhodné veličiny $X$ (značíme $EX$).

x*P
EX = sum(x*P)
EX

#-----------------------------------------------------------------------------------
# d) Určete střední hodnotu náhodné veličiny $X^2$ (značíme $EX^2$).

EY = sum((x*x)*P)
EY

#-----------------------------------------------------------------------------------
# e) Určete rozptyl náhodné veličiny $X$ (značíme $DX$).

Di = (x-EX)^2*P
DX = sum(Di)
DX

#-----------------------------------------------------------------------------------
# f) Určete směrodatnou odchylku náhodné veličiny $X$ (značíme $\sigma_X$).

sigma.X = sqrt(DX)
sigma.X


#Souhrnná tabulka
souhrn(x, P)




#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 3.Příklad 

#Na lodi jsou dvě čerpadla. První v čase $t$ pracuje s pravděpodobností $0,8$ 
#a druhé, nezávisle na prvním, s pravděpodobností $0,9$. Náhodná veličina $X$ 
#udává počet pracujících čerpadel v čase $t$.


#-----------------------------------------------------------------------------------
# a) Načrtněte graf pravděpodobnostní funkce $P_{X}(x)$.

#A ... první čerpadlo v čase t pracuje
#B ... druhé čerpadlo v čase t pracuje

# P(X = 0) = 1 - P(A sjednoceno s B) = 0.02
# P(X = 1) = P(A sjednoceno s B) - P(A prunik B) = 0.26
# P(X = 2) = P(A prunik B) = 0.72
# P(X = x) = 0 pro x ruzne od 0,1,2. Proto:

x = c(0,1,2)
Px = c(0.02,0.26,0.72)
graff(x,Px)



#-----------------------------------------------------------------------------------
# b) Určete předpis a načrtněte graf distribuční funkce $F_{X}(x)$.

grafF(x,Px)

#-----------------------------------------------------------------------------------
# c) Určete střední hodnotu náhodné veličiny $X$ (značíme $EX$).

EX = sum(x*Px)
EX

#-----------------------------------------------------------------------------------
# d) Určete střední hodnotu náhodné veličiny $X^2$ (značíme $EX^2$).

EX2 = sum(x*x*Px)
EX2

#-----------------------------------------------------------------------------------
# e) Určete rozptyl náhodné veličiny $X$ (značíme $DX$) a směrodatnou
#          odchylku náhodné veličiny $X$ (značíme $\sigma_X$).

DX = sum(x*x*Px) - (sum(x*Px))**2
DX

sigmaX = sqrt(DX)
sigmaX

#-----------------------------------------------------------------------------------
# f) První čerpadlo odsává vodu z lodi rychlostí 300 litrů za sekundu a
#          druhé také rychlostí 300 litrů za sekundu. Do lodi přitéká voda 
#          rychlostí 550 litrů za sekundu. Náhodná veličina $Y$ vyjadřuje 
#          (v litrech za sekundu) množství vody přitékající do lodi.

#          Y = 550-300X

#    \item[I.)] Načrtněte graf pravděpodobnostní funkce $P_{Y}(y)$.
#   X=0 => Y = 550,  P_Y(550) = P(X = 0) = 0.02
#   X=1 => Y = 250,  P_Y(250) = P(X = 1) = 0.26
#   X=2 => Y = -50,  P_Y(-50) = P(X = 2) = 0.72
#   pro jine hodnoty Y je , P_Y(y) = 0

y = c(-50, 250, 550)
PY = c(0.72, 0.26, 0.02)
graff(y,PY)

#NEBO
y = 550 - 300*x
PY = Px
pravd.f(y,PY)

#    \item[II.)] Určete předpis a načrtněte graf distribuční funkce $F_{Y}(y)$.

dist.f(y,PY) #graf vychází nesmyslně! je to tím, že hodnoty y 
             #nejsou seřazeny vzestupně! Je to dáno výpočtem y = 550 - 300*x 
y

#ŘEŠENÍ:
#sort(y) by seřadilo hodnoty y podle velikosti
idx_sorted = order(y) # funkce order vrátí indexy setřízeného pořadí
idx_sorted
y = y[idx_sorted] # předefinujeme vektor y - seřadíme podle velikosti
y
PY = Px[idx_sorted] # předefinujeme vektor PY - musíme také stejně přeuspořádat!
PY

dist.f(y,PY)


#-----------------------------------------------------------------------------------
# g) Určete střední hodnotu náhodné veličiny $Y$ (značíme $EY$).
EY = sum(y*PY)
EY
#NEBO
EY = 550 -300*1.7
EY

#\item[h)] Určete rozptyl náhodné veličiny $Y$ (značíme $DY$).
DY = sum((y-EY)^2*PY)
DY
#NEBO
DY = sum(y*y*PY) - (sum(y*PY)^2)
DY
#NEBO
DY = (300^2)*DX
DY
#\item[ch)] Určete směrodatnou odchylku náhodné veličiny $Y$ (značíme $\sigma_Y$).