# ...................................................................................... # .....................Cvičení 4 ....Vybraná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti....... # ...................................................................................... # .....................Hypergeometrická Náhodná Veličina................................ # ...................................................................................... # Mezi M objekty je N objektů s vlastností A. # X...udává počet objektů s vlastností A mezi n náhodně vybranými objekty (ze všech M) objektů # značíme X -> H(N,M,n) # ...................................................................................... # 1.Příklad #Ve skladu je 100 výrobků, z nichž je 15 vadných. #----------------------------------------------------------------------------------- # a) Určete pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými výrobky je právě 5 vadných. # X...počet vadných výrobků mezi vybranými, X -> H(N,M,n) = H(100, 15, 10) # P(X = 5) = choose(15,5)*choose(85,5)/choose(100,10) #NEBO # Pravděpodobnostní funkce P(X = x) = dhyper(x, M, N - M, n) x = 5 # hodnota, pro níž hledáme p-stní funkci N = 100 # celkový počet objektů M = 15 # z toho se zadanou vlastností n = 10 # velikost výběru dhyper(x, M, N - M, n) #----------------------------------------------------------------------------------- # b)Určete pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými výrobky je 2 až 5 vadných. soucetP = function(a,b,N,M,n) { # = P(X = a) + ... + P(X = b) P = 0 for (i in a:b) { P = P + dhyper(i, M, N - M, n) } return(P) } # = P(X = 2) + ... + P(X = 5) = soucetP(2,5,100,15,10) #NEBO: P(X = 2) + ... + P(X = 5) = P(X \leq 5) - P(X \leq 1) = phyper(5, M, N - M, n) - phyper(1, M, N - M, n) #----------------------------------------------------------------------------------- # c)Určete pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými výrobky jsou více než 3 vadné. #P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - phyper(3, 15, 85, 10) 1 - soucetP(0,3,100,15,10) soucetP(4,10,100,15,10) #----------------------------------------------------------------------------------- # d) Vykreslete graf pravděpodobnostní funkce NV X -> H(100, 15, 10) # Pravděpodobnostní funkce P(x) = P(X = x) = dhyper(x, M, N - M, n) # x..........hodnota, pro níž hledáme p-stní funkci # N = 100 ...celkový počet objektů # M = 15.....z toho se zadanou vlastností # n = 10 ....velikost výběru # vykreslíme pravděpodobnostní funkci - usporna varianta: x = 0:10 # minimálně 0, maximálně n nebo M má kladnou pravd. P = dhyper(x, 15, 85, 10) plot(x, P) grid() # vykreslení pomocí dříve definované funkce: # Pravděpodobnostní funkce pravd.f = function(x,p){ plot(x, p, # plná kolečka - v skutečných hodnotách ylab='P(x)',xaxt='n',pch=19,col=c("red"), ylim=c(0,1), main="Pravděpodobnostní funkce") lines(c(min(x)-100,max(x)+100),c(0, 0)) for(i in 1:length(x)){ lines(c(min(x)-100,max(x)+100), c(p[i],p[i]), type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # horizontální grid lines(c(x[i],x[i]), c(-0.1,1.1), type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # vertikální grid } par(new=TRUE) # že chceme kreslit do jednoho grafu plot(x, p*0, type="b", # prázdná kolečka - tam kde je definovaná nenulová hodnota ylab='P(x)', xaxt='n', col=c("red"), ylim=c(0,1)) par(new=TRUE) #červná osa vlevo od nejmenší hodnoty d=c(x[1] - 0.1*(x[length(x)] - x[1]), x[1]) lines(d, d*0, type="b",ylab='',xlab='', col=c("red"), ylim=c(0,1)) par(new=TRUE) #červná osa vpravo od nejmenší hodnoty d=c(x[length(x)], x[length(x)] + 0.1*(x[length(x)] - x[1])) lines(d, d*0, type="b",ylab='',xlab='', col=c("red"), ylim=c(0,1)) axis(1, at=x,labels=x) # nastavení hodnot na X axis(4, at=p,labels=p, las=2, cex.axis=0.7, tck=-.01) # a Y } x = 0:10 # minimálně 0, maximálně n nebo M má kladnou pravd. P = dhyper(x, 15, 85, 10) pravd.f(x, P) #----------------------------------------------------------------------------------- # e) Vykreslete graf distribuční funkce NV X -> H(100, 15, 10) # Distribuční funkce F(x) = P(X < x) = pro celá x!!! = P(X \leq x-1) = phyper(x - 1, M, N - M, n) # ( protože phyper(y, M, N - M, n) = P(X menší, nebo rovno y) ) #ale pro x reálná se F(x) = P(X < x) liší od pbinom(x - 1, n, p) jen v celých x, jinde jsou stejné! # vykreslíme Distribuční funkci - jednoduchá varianta: x = -1:11 # minimálně 0, maximálně n nebo M má kladnou pravd. F = phyper(x, 15, 85, 10) plot(x, F, pch=4, ylab='',ylim=c(0,1),main="Distribucni funkce", col=c("blue"), type='s') grid() # vykreslíme Distribuční funkci - použijeme dříve vytvořenou funkci: # Funkce pro výpočet a vykreslení distribuční funkce dist.f = function(x,p){ F = cumsum(p) F_ext = c(0, F) # natáhneme F o 0 na začátku x_ext = c(x[1]-1, x, x[length(x)]+1) # a x z obou stran plot(x, F, ylab="F(x)", col=c("red"), xaxt='n', ylim=c(0,1), # prazdná kolečka type='p', main="Distribuční funkce") par(new=TRUE) # že chceme kreslit do jednoho grafu plot(x, F_ext[1:(length(F_ext)-1)], # plná kolečka col=c("red"), ylab="F(x)", xaxt='n', ylim=c(0,1), type='p', pch=19) for(i in 1:(length(x_ext)-1)){ lines(c(min(x)-100,max(x)+100), c(F_ext[i],F_ext[i]), type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # horizontální grid lines(c(x_ext[i],x_ext[i]), c(-0.1,1.1), type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # vertikální grid lines(x_ext[i:(i+1)], c(F_ext[i],F_ext[i]), col=c("red")) # graf - čáry } axis(1, at=x,labels=x) # nastavení hodnot na X axis(4, at=F,labels=F, las=2, cex.axis=0.7, tck=-.01) # a Y return(F) } x = 0:10 # minimálně 0, maximálně n nebo M má kladnou pravd. P = dhyper(x, 15, 85, 10) #vstupem do dist.f(x,P) je P...pravdepodobnostní fce dist.f(x,P) #----------------------------------------------------------------------------------- # f) Nalezněte nejmenší hodnotu x náhodné veličiny X pro kterou je: # F(x) = P(X < x) \geq 0.7 # (Kvantilová funkce = inverze k dist. fci) #Obecně: P(X < x) = phyper(x - 1, M, N - M, n) #F(1) = P(X < 1) = P(X \leq 0) = 0.1807 phyper(1 - 1, M, N - M, n) #F(2) = P(X < 2) = P(X \leq 1) = 0.5375 phyper(2 - 1, M, N - M, n) #F(3) = P(X < 3) = P(X \leq 2) = 0.8295 phyper(3 - 1, M, N - M, n) #F(4) = P(X < 4) = P(X \leq 3) = 0.9591987 phyper(4 - 1, M, N - M, n) # atd. z výše uvedeného plyne, že hledaná hodnota je x = 3 #Nemusíme to ale takto zkoušet, je na to funkce: q = 0.7 # pravděpodobnost pro kterou hledáme kvantil N = 100 # celkový počet objektů M = 15 # z toho se zadanou vlastností n = 10 # velikost výběru # qhyper(q, M, N - M, n) dává nejmenší hodnotu x* pro kterou je splněno # P(X \leq x*) \geq 0.7 # pokud k x* přčteme 1 dostaneme nejmenší hodnotu x = x* + 1 pro kterou platí # P(X < x) \geq 0.7 # proto hledaná hodnota x je: qhyper(q, M, N - M, n) + 1 qhyper(0.7, 15, 85, 10) + 1 # .....................Binomická Náhodná Veličina................................ # ...................................................................................... # Provádíme n nezávislých pokusů, pravděpodobnost úspěchu při jednom pokusu je p. # X...udává počet úspěchů při n pokusech # značíme X -> Bi(n,p) # ...................................................................................... #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 2.Příklad #Pravděpodobnost, že výrobek je vadný je 0,15. #----------------------------------------------------------------------------------- # a) Určete pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými výrobky jsou právě 2 vadné. # X...počet vadných výrobků mezi vybranými, X -> Bi(n,p) = Bi(10, 0.15) #P(X = 2) = choose(10,2)*(0.15^2)*(1-0.15)^8 #NEBO #P(X = x) = dbinom(x, n, p) dbinom(2, 10, 0.15) #srovnej s: dhyper(2, 15, 85, 10) #----------------------------------------------------------------------------------- # b)Určete pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými výrobky je 3 až 7 vadných. #P(3 \leq X \leq 7) = P(X \leq 7) - P(X \leq 2) = pbinom(7,10,0.15) - pbinom(2,10,0.15) #pracnější verze: dbinom(3, 10, 0.15)+dbinom(4, 10, 0.15)+dbinom(5, 10, 0.15)+dbinom(6, 10, 0.15)+dbinom(7, 10, 0.15) # c)Určete pravděpodobnost, že mezi 10 náhodně vybranými výrobky jsou více než 3 vadné. #P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - pbinom(3, 10, 0.15) #srovnej s: 1 - phyper(3, 15, 85, 10) #----------------------------------------------------------------------------------- # d) Určete střední hodnotu a rozptyl NV X -> Bi(10, 0.15) #EX = n*p 10*0.15 #DX = n*p*(1-p) 10*0.15*0.85 #----------------------------------------------------------------------------------- # e) Vykreslete graf pravděpodobnostní funkce NV X -> Bi(10, 0.15) a srovnejte jej s # grafem pravděpodobnostní funkce NV Y -> H(100, 15, 10) # Pravděpodobnostní funkce P_X(x) = P(X = x) = dbinom(x, n, p) = dbinom(x, 10, 0.15) # Pravděpodobnostní funkce P_Y(x) = P(Y = x) = dhyper(x, M, N - M, n) = dhyper(x, 15, 85, 10) # vykreslíme pravděpodobnostní funkci x = 0:10 # minimálně 0, maximálně n nebo M má kladnou pravd. Px = dbinom(x, 10, 0.15) plot(x, Px, ylab='',ylim=c(0,1),main="Pravdepodobnostni funkce", col=c("red")) grid() par(new=TRUE) # že chceme kreslit do jednoho grafu Py = dhyper(x, 15, 85, 10) plot(x, Py, pch=4, ylab='',ylim=c(0,1),main="Pravdepodobnostni funkce", col=c("blue")) #----------------------------------------------------------------------------------- # f) Vykreslete graf distribuční funkce NV X -> Bi(10, 0.15) # Distribuční funkce F(x) = P(X < x) = pro celá x!!! = P(X \leq x-1) = pbinom(x - 1, n, p) # ( protože pbinom(y, n, p) = P(X \leq y) ) #ale pro x reálná se F(x) = P(X < x) liší od pbinom(x - 1, n, p) jen v celých x, jinde jsou stejné! # vykreslíme Distribuční funkci - jednoduchá varianta: x = -1:11 # minimálně 0, maximálně n nebo M má kladnou pravd. F = pbinom(x, 10, 0.15) plot(x, F, ylab='F_X',ylim=c(0,1),main="Pravdepodobnostni funkce", col=c("red"), type='s') grid() par(new=TRUE) # že chceme kreslit do jednoho grafu Fy = phyper(x, 15, 85, 10) plot(x, Fy, pch=4, ylab='',ylim=c(0,1),main="Pravdepodobnostni funkce", col=c("blue"), type='s') # vykreslíme Distribuční funkci - aby byl graf hezčí,použijeme dříve vytvořenou funkci dist.f #a vytvoříme i modrou verzi funkce pro kreslení distribuční funkce: dist.fmodra = function(x,p){ F = cumsum(p) F_ext = c(0, F) # natáhneme F o 0 na začátku x_ext = c(x[1]-1, x, x[length(x)]+1) # a x z obou stran plot(x, F, ylab="F(x)", col=c("blue"), xaxt='n', ylim=c(0,1), # prazdná kolečka type='p', main="Distribuční funkce") par(new=TRUE) # že chceme kreslit do jednoho grafu plot(x, F_ext[1:(length(F_ext)-1)], # plná kolečka col=c("blue"), ylab="F(x)", xaxt='n', ylim=c(0,1), type='p', pch=19) for(i in 1:(length(x_ext)-1)){ lines(c(min(x)-100,max(x)+100), c(F_ext[i],F_ext[i]), type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # horizontální grid lines(c(x_ext[i],x_ext[i]), c(-0.1,1.1), type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # vertikální grid lines(x_ext[i:(i+1)], c(F_ext[i],F_ext[i]), col=c("blue")) # graf - čáry } axis(1, at=x,labels=x) # nastavení hodnot na X axis(4, at=F,labels=F, las=2, cex.axis=0.7, tck=-.01) # a Y return(F) } #Vykreslíme graf distr fce binomické NV červeně a hypergeometrické modře x = 0:10 # minimálně 0, maximálně n nebo M má kladnou pravd. Px = dbinom(x, 10, 0.15) #vstupem do dist.f(x,Px) je Px...pravdepodobnostní fce Py = dhyper(x, 15, 85, 10) dist.fmodra(x,Py) par(new=TRUE) dist.f(x,Px) #----------------------------------------------------------------------------------- # g) Nalezněte nejmenší hodnotu x náhodné veličiny X pro kterou je: # F(x) = P(X < x) \geq 0.5 # (Kvantilová funkce = inverze k dist. fci) #Obecně: P(X < x) = P(X \leq x-1) = pbinom(x - 1, n, p) #F(1) = P(X < 1) = P(X \leq 0) = pbinom(0, 10, 0.15) #F(2) = P(X < 2) = P(X \leq 1) = pbinom(1, 10, 0.15) # atd. z výše uvedeného plyne, že hledaná hodnota je x = 2 #Nemusíme to ale takto zkoušet, je na to funkce: # qbinom(q, n, p) dává nejmenší hodnotu x* pro kterou je splněno # P(X \leq x*) \geq q # pokud k x* přičteme 1 dostaneme nejmenší hodnotu x = x* + 1 pro kterou platí # P(X < x) \geq 0.5 # proto hledaná hodnota x je: qbinom(0.5, 10, 0.15) + 1 # .....................Negativně Binomická Náhodná Veličina................................ # ...................................................................................... # Provádíme nezávislé pokusy. Pravděpodobnost úspěchu při jednom pokusu je p. # X...udává počet pokusů do k-tého úspěchu (včetně) # značíme X -> NB(k,p) # speciální případ: počet pokusů do prvního úspěchu = NB(1,p) = G(p)...tzv. Geometrická NV # ...................................................................................... #POZOR! Negativně binomická NV je v R definována jako počet neúspěchů před k-tým úspěchem. #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 3.Příklad #Při hodu kostkou padne šestka s pravděpodobností 1/6. #----------------------------------------------------------------------------------- # a) Určete pravděpodobnost, že šestka padne poprvé při čtvrtém hodu. # X...počet hodů do prvního úspěchu => X-> NB(k,p) = NB(1,1/6) = G(1/6) k=1 p=1/6 x=4 P = choose(x-1,k-1)*(p^k)*((1- p)^(x-k)) P #NEBO: choose(3,0)*((1/6)^1)*((5/6)^3) #NEBO: # - **Negativně binomická NV je v Rku definována jako počet neúspěchů před k-tým # úspěchem** # Pravděpodobnostní funkce P(X = x) = dnbinom(x - k, k, p) x = 4 # počet pokusů pro který hledáme pravd. fci k = 1 # požadovaný počet úspěchů p = 1/6 # pravd. uspechu u jednotlivých pokusů # pozor první argument x - k = počet neúspěchů => dnbinom(x - k, k, p) dnbinom(3, 1, 1/6) #----------------------------------------------------------------------------------- # b) Určete pravděpodobnost, že šestka padne potřetí při osmém hodu. # X...počet hodů do třetího úspěchu => X-> NB(k,p) = NB(3,1/6) k=3 p=1/6 x=8 P = choose(x-1,k-1)*(p^k)*((1- p)^(x-k)) P #NEBO: choose(7,2)*((1/6)^3)*((5/6)^5) #NEBO: # Pravděpodobnostní funkce P(X = x) = dnbinom(x - k, k, p) x = 8 # počet pokusů pro který hledáme pravd. fci k = 3 # požadovaný počet úspěchů p = 1/6 # pravd. uspechu u jednotlivých pokusů # pozor první argument x - k = počet neúspěchů => dnbinom(x - k, k, p) dnbinom(5, 3, 1/6) #----------------------------------------------------------------------------------- # c) Určete pravděpodobnost, že druhá šestka padne dříve, než při pátém hodu. # X...počet hodů do druhého úspěchu => X-> NB(k,p) = NB(2,1/6) # Hledáme P(X < x) = P(X <= x-1) = pnbinom(x - 1 - k, k, p) x = 5 # počet pokusů pro který hledáme pravd. fci k = 2 # požadovaný počet úspěchů p = 1/6 # pravd. jednotlivých pokusů # pozor první argument musí být počet neúspěchů pnbinom(x - k - 1, k, p) #NEBO: P(X < 5) = P(X <= 4) = pnbinom(2, 2, 1/6) pnbinom(2, 2, 1/6) #NEBO: P(X < 5) = P(X <= 4) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) dnbinom(0, 2, 1/6) + dnbinom(1, 2, 1/6) + dnbinom(2, 2, 1/6) #----------------------------------------------------------------------------------- # d) Jaké hodnotě se blíží průměr počtu hodů nutných k dosažení 4. úspěchu (počtvrté padne 6)? # EX = k/p = 3/(1/6) # = 18 #----------------------------------------------------------------------------------- # e) Určete rozptyl náhodné veličiny X->NB(4,1/6). # EX = k(1-p)/p^2 = 4*(5/6)/(1/6)^2 # = 120 #----------------------------------------------------------------------------------- # f) Nalezněte nejmenší hodnotu n náhodné veličiny X->NB(3,1/6) pro kterou je: # F(n) = P(X < n) \geq 0.5 #Obecně: P(X < n) = P(X \leq n-1) = pnbinom(n-1 -k, k, p) #F(4) = P(X < 4) = P(X \leq 3) = pnbinom(0, 3, 1/6) #F(5) = P(X < 5) = P(X \leq 4) = pnbinom(1, 3, 1/6) #F(6) = P(X < 6) = P(X \leq 5) = pnbinom(2, 3, 1/6) #F(7) = P(X < 7) = P(X \leq 6) = pnbinom(3, 3, 1/6) #F(12) = P(X < 12) = P(X \leq 11) = pnbinom(8, 3, 1/6) #F(16) = P(X < 16) = P(X \leq 15) = pnbinom(12, 3, 1/6) #F(17) = P(X < 17) = P(X \leq 16) = pnbinom(13, 3, 1/6) # atd. z výše uvedeného plyne, že hledaná hodnota je x = 17 #Nemusíme to ale takto zkoušet, je na to funkce: # qnbinom(q,k, p) dává nejmenší hodnotu x*=počet neúspěchů před k-tým úspěchem- #pro kterou je splněno # P(X \leq x*+k) \geq q # pokud k x*+ k přičteme 1 dostaneme nejmenší hodnotu x = x* + k + 1 pro kterou platí # P(X < x) \geq 0.5 # proto hledaná hodnota x je: qnbinom(0.5, 3, 1/6) + 3 + 1 #----------------------------------------------------------------------------------- # g) Vykreslete graf pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny X->NB(3,1/6) # Pravděpodobnostní funkce P(X = x) = dnbinom(x - k, k, p) # vykreslíme si pravděpodobnostní funkci x = 3:40 # minimálně k, maximum neomezeno, hodnoty se s rostoucím x budou blížit 0 k = 3 p = 1/6 P_x = dnbinom(x - k, k, p) plot(x, P_x) grid() # hodnoty 0,1,2 mají P(x)=0 #NEBO: pravd.fmax = function(x,p){ plot(x, p, # plná kolečka - v skutečných hodnotách ylab='P(x)',xaxt='n',pch=19,col=c("red"),ylim=c(0,max(p)), main="Pravděpodobnostní funkce") lines(c(min(x)-100,max(x)+100),c(0, 0)) for(i in 1:length(x)){ lines(c(min(x)-100,max(x)+100), c(p[i],p[i]), type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # horizontální grid lines(c(x[i],x[i]), c(-0.1,1.1), type = 'l', lty = 3, lwd=0.5) # vertikální grid } par(new=TRUE) # že chceme kreslit do jednoho grafu plot(x, p*0, type="b", # prázdná kolečka - tam kde je definovaná nenulová hodnota ylab='P(x)', xaxt='n', col=c("red"), ylim=c(0,1)) par(new=TRUE) #červná osa vlevo od nejmenší hodnoty d=c(x[1] - 0.1*(x[length(x)] - x[1]), x[1]) lines(d, d*0, type="b",ylab='',xlab='', col=c("red"), ylim=c(0,1)) par(new=TRUE) #červná osa vpravo od nejmenší hodnoty d=c(x[length(x)], x[length(x)] + 0.1*(x[length(x)] - x[1])) lines(d, d*0, type="b",ylab='',xlab='', col=c("red"), ylim=c(0,1)) axis(1, at=x,labels=x) # nastavení hodnot na X axis(4, at=p,labels=p, las=2, cex.axis=0.7, tck=-.01) # a Y } pravd.fmax(x,P_x) # vykreslíme Distribuční funkci x = 3:40 # minimálně 0, maximálně n nebo M má kladnou pravd. P_x = dnbinom(x - k, k, p) F_x = cumsum(P_x) plot(x, F_x, type='s') # .....................Poissonova Náhodná Veličina................................ # ...................................................................................... # Sledujeme výskyt událostí (úspěchú) při poissonově procesu # X...počet událostí (úspěchú) v intervalu <0,t> (časovém, délkovém, plošném, objemovém...) # značíme X -> Po(λt) # EX = λt aproximujeme průměrnou naměřenou hodnotou NV X # ...................................................................................... #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 4.Příklad # Na nádraží dopoledne přijíždí v průměru 1 vlak každých pět minut. Aproximujte střední # hodnotu průměrem. #----------------------------------------------------------------------------------- # a) Určete pravděpodobnost, že během jedné dopolední hodiny přijede celkem 14 vlaků. # X... počet vlaků, které přijedou v intervalu <0minut, 60minut> #1 vlak každých pět minut => v průměru 12 vlaků za hodinu = odhad EX = λt proto: # X -> Po(λt) = Po(12) # P(X = 14) = (12^14)/(factorial(14))*2.71^(-12) #nepřesné díky odhadu e = 2,71 dpois(14, 12) #přesnější výpočet #----------------------------------------------------------------------------------- # b) Určete pravděpodobnost, že od 8:00 do 12:00 přijede více než 40 vlaků. # X... počet vlaků, které přijedou v intervalu <0hodin, 4hodiny> # 1 vlak každých pět minut => v průměru 12 vlaků za hodinu => v průměru 48 vlaků za 4 hodiny => # 48 = odhad EX = λt proto: # X -> Po(λt) = Po(48) # P(X > 40) = 1 - P(X \leq 40) = soucetP = function(k, lt) { # = P(X = a) + ... + P(X = b) P = 0 for (i in 0:k) { P = P + dpois(i, lt) } return(P) } #ALT ENTER 1 - soucetP(40, 48) #ALT ENTER #NEBO: 1 - ppois(40, 48) # výpočet pomocí kumulativní pravděpodobnostní funkce #----------------------------------------------------------------------------------- # c) Načrtněte graf pravděpodobnostní funkce NV X -> Po(λt) = Po(48). # (X... počet vlaků, které přijedou v intervalu <0hodin, 4hodiny>) # graf pravděpodobnostní funkce # teoreticky může libovolný nezáporný celý počet vlaků, # od jisté hodnoty je pravděpodobnost zanedbatelná x = 0:80 p = dpois(x, 48) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x, p) #----------------------------------------------------------------------------------- # d) Načrtněte graf distribuční funkce NV X -> Po(λt) = Po(48). # (X... počet vlaků, které přijedou v intervalu <0hodin, 4hodiny>) # graf distribuční funkce # teoreticky může libovolný nezáporný celý počet vlaků, # od jisté hodnoty je pravděpodobnost zanedbatelná x = 0:80 p = dpois(x, 48) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x F= cumsum(p) plot(x, F, type="s") #Příklady na procvičení: #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 5.Příklad # Ve skladu je 200 součástek. 10 % z nich je vadných. Jaká je pravděpodobnost, že # vybereme-li ze skladu třicet součástek, tak nejméně dvě budou vadné? # X ... počet vadných součástek mezi 30 vybranými z 200. # X ~ H(N = 200, M = 20, n = 30) N = 200 M = 20 n = 30 # P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - P(X <= 1) 1 - phyper(2 - 1, M, N - M, n) 1 - phyper(1, 20, 180, 30) #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 6.Příklad # Pokusy se zjistilo, že radioaktivní látka vyzařuje během 10 s průměrně 38 # α-částic. #----------------------------------------------------------------------------------- # a) Určete pravděpodobnost toho, že za 3 sekundy vyzáří tato látka právě pět # α-částic. # X ... počet vyzářených alfa částic během 3 s # v průměru 38 za 10s => 3,8 za 1s => 3,8*3 = 11,4 za 3s = odhad EX = = λt # X ~ Po(lt = 11.4) # P(X = 5) = dpois(5, 11.4) #----------------------------------------------------------------------------------- # b) Určete pravděpodobnost toho, že za 2 minuty vyzáří tato látka více než 450 # α-částic. # X ... počet vyzářených alfa částic během 2 minut # v průměru 38 za 10s => 3,8 za 1s => 3,8*120 = 456 za 2min = odhad EX = = λt # X ~ Po(lt = 456) # P(X > 450) = 1 - P(X =< 450) = 1 - ppois(450, 456) #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 7.Příklad # Pravděpodobnost, že se dovoláme do studia rozhlasové stanice, která právě vyhlásila # telefonickou soutěž je 0,08. Jaká je pravděpodobnost, že se dovoláme nejvýše na 4. # pokus? # X ... počet pokusů než se dovoláme do rozhlasového studia # X ~ NB(k = 1,p = 0.08) nebo G(0.08) x = 4 k = 1 p = 0.08 # P(X <= 4) pnbinom(x - k, k, p) pnbinom(3, 1, 0.08) #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 8.Příklad # Na stůl vysypeme 15 mincí. Jaká je pravděpodobnost, že počet mincí ležících lícem # nahoru, je od 8 do 12 (včetně)? # X ... počet mincí, které padnou lícem nahoru z celkového množství 15 mincí # X ~ Bi(n = 15, p = 0.5) n = 15 p = 0.5 # P(8 <= X <= 12) = P(X <= 12) - P(X < 8) = P(X <= 15) - P(X <= 7) pbinom(12, n, p) - pbinom(7, n, p) pbinom(12, 15, 0.5) - pbinom(7, 15, 0.5) #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 9.Příklad # Na třech metrech čtverečních pole roste průměrně 99 slunečnic. Určete pravděpodobnost, # že na dvou metrech čtverečních pole poroste méně než 60 slunečnic. # X ... počet slunečnic na dvou metrech čtverečních # v průměru 99 na 3m^2 => 33 na 1m^2 => 66 na 2m^2 => odhad EX = λt = 66 # X ~ Po(lt = 66) # P(X < 60) = P(X \leq 59) ppois(59, 66) #----------------------------------------------------------------------------------- #----------------------------------------------------------------------------------- # 10.Příklad # Ve třídě má 12 žáků krevní skupinu A, 5 má skupinu B a 2 mají AB a 10 žáků má krevní skupinu 0. # Určete pravděpodobnost, že mezi 16 vybranými žáky jich bude mít #a) 5 skupinu AB. # X ... počet žáků se skupinou AB z 16 vybraných. # X ~ H(N = 29, M = 2, n = 16) # P(X = 5) = dhyper(5, M, N - M, n) = dhyper(5, 2, 27, 16) # To bylo jasné hned! NV X nabývá pouze hodnot 0, 1, 2. #b) 6 skupinu A # X ... počet žáků se skupinou AB z 16 vybraných. # X ~ H(N = 29, M = 12, n = 16) # P(X = 6) = dhyper(6, M, N - M, n) = dhyper(6, 12, 17, 16)