# ......................................................................................
# ................Cvičení 6 - Vybraná rozdělení spojité náhodné veličiny................
# ........................upravené studijní materiály od:...............................
# ..................Martina Litschmannová, Adéla Vrtková, Michal Béreš..................
# ......................................................................................

# Nezobrazuje-li se vám text korektně, nastavte File \ Reopen with Encoding... na UTF-8
# Pro zobrazení obsahu skriptu použijte CTRL+SHIFT+O
# Pro spouštění příkazů v jednotlivých řádcích použijte CTRL+ENTER

#  Přehled rozdělení a jejich funkcí ####
# * Úvod: Hustota pravděpodobnosti, Distribuční funkce a Kvantilová funkce ####
# ** Hustota pravděpodobnosti ####
# - začíná písmenkem **d**: p = d...(x, ...)
# 
# ** Distribuční funkce ####
# - začíná písmenkem **p**: $p = P(X < x)$: p = p...(x, ...)
# 
# ** Kvantilová funkce ####
# - začíná písmenkem **q**:  najdi x pro zadané p: $p = F(x) \rightarrow x = F^{-1}(p)$:
# x = q...(p, ...)



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# * Rovnoměrné rozdělení: $X \sim Ro(a, b)$ ####
# - náhodná veličina nabývá pouze hodnot větších než a a menších než b
# - všechny hodnoty mají stejnou hustotu výskytu -> hustota pravděpodobnosti je
# konstantní mezi a a b, jinde nulová


# Hustota pravděpodobnosti f(x)
a = 2   # odkud 
b = 4   # kam
x = 3   # v jakém bodě
dunif(x, a, b)


# Distribuční funkce F(x) = P(X < x)
a = 2   # odkud 
b = 4   # kam
x = 3   # v jakém bodě
punif(x, a, b)


# kvantilová funkce F^(-1)(p) = x: P(X<x)=p
a = 2    # odkud 
b = 4    # kam
p = 0.75 # v jakém bodě  
qunif(p, a, b)




#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 1.Příklad 
# Na prohlídce výstavy je promítán doprovodný film o životě autora vystavovaných děl.
# Jeho projekce začíná každých 20 minut. Náhodně přijdete do promítacího sálu.



#-----------------------------------------------------------------------------------
# a) Označme X dobu čekání od příchodu do začátku filmu. Načrtněte graf a určete
#    předpis hustoty pravděpodobnosti NV X.

# přijdeme v okamžiku a = 0 min a netušíme, kdy film začne, víme jen, že to bude
# nejpozději v okamžiku b = 20 min, všechny okamžiky v tomto intervalu (a,b) mají stejnou
# hustotu pravděpodobnosti, že zrovna v nich začíná film. Mimo tento interval je hustota 
# pravděpodobnosti nulová:

a = 0
b = 20

# vykreslíme si Hustotu pravděpodobnosti
x = seq(from = -5, to = 25, by = 0.01)
f_x = dunif(x, a, b)
plot(x, f_x,cex = 0.5, col=c("red")) # cex je velikost markerů
grid()

# Y … doba do začátku další projekce
# Y ~ Ro(a=0, b=20)


#-----------------------------------------------------------------------------------
# b) Určete pravděpodobnost, že pokud náhodně přijdete do promítacího sálu,
#    nebudete na začátek filmu čekat víc než 5 minut.

# P(X<5) = \int_{0}^{5} f(x) dx, NEBO:
# P(X<5) = F(5)=
punif(5, a, b)


#-----------------------------------------------------------------------------------
# c) Určete distribuční funkci NV X a načrtněte její graf.


# vykreslíme si Distribuční funkci
x = seq(from = -5, to = 25, by = 0.01)
F_x = punif(x, 0, 20)
plot(x, F_x,cex = 0.5, col=c("blue"))
grid()


#-----------------------------------------------------------------------------------
# d) Určete pravděpodobnost, že budeme čekat 10 až 12 minut.

# P(10<X<12)
punif(12, 0, 20) - punif(10, 0, 20) # = 0.1




#-----------------------------------------------------------------------------------
# e) Určete střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku doby čekání na začátek filmu.

a = 0
b = 20

E_X = (a + b)/2
E_X

D_X = (a - b)^2/12
D_X

sigma_X = sqrt(D_X)
sigma_X


#-----------------------------------------------------------------------------------
# f) Odhadněte dobu čekání, již nepřekročí 60% náhodně přicházejících lidí.

# Hledáme x_0 takové, že P(X < x_0) = 0.6

qunif(0.6, 0, 20)





#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# * Exponenciální rozdělení: $X \sim Exp(\lambda)$ ####
# - doba do 1. události, doba mezi událostmi (pouze v období stabilního života -
# Poissonův proces)
# - parametr $\lambda$ je tentýž co v Poissonově rozdělení
# - střední hodnota je: $E(X)=1 / \lambda$


# Hustota pravděpodobnosti f(x)
lambda = 2
x = 1
dexp(x, lambda)


# Distribuční funkce F(x) = P(X < x)
lambda = 2
x = 1
pexp(x, lambda)


# kvantilová funkce F^(-1)(p) = x: P(X<x)=p
lambda = 2
p = 0.5 
qexp(p, a, b)

# vykreslení - kvantilová funkce F^(-1)(p) = x
p = seq(from=0, to=1, by=0.001)   
x = qexp(p, lambda)
plot(p, x, type = 'l')
grid()


#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 2.Příklad 
# Průměrná životnost součástky je 30 000 hodin. Předpokládejme, že součástka je
# v období stabilního života (v takovém případě aproximujeme životnost náhodnou 
# veličinou s Exponenciálním rozdělením). 


#-----------------------------------------------------------------------------------
# a) Označme: 
# X ... životnost součástky => X ~ Exp(lambda), kde E(X)=1/lambda
# určete parametr lambda


# E(X)=1/lambda => lambda = 1/E(X)

lambda = 1/30000

#-----------------------------------------------------------------------------------
# b) Načrtněte graf hustoty pravděpodobnosti

# Hustota pravděpodobnosti f(x) = dexp(x, lambda)

# vykreslíme graf
x = seq(from = 0, to = 60000, by = 1)
f_x = dexp(x, lambda)
plot(x, f_x, type='l')
grid()


#-----------------------------------------------------------------------------------
# c) Načrtněte graf distribuční funkce

# Distribuční funkce F(x) = P(X < x)

# vykreslíme graf
x = seq(from = 0, to = 60000, by = 1)
F_x = pexp(x, lambda)
plot(x, F_x, type = 'l')
grid()



#-----------------------------------------------------------------------------------
# d) Určete pravděpodobnost, že součástka nevydrží více než 2 000 hodin.

#    P(X<2000)=F(2000)

pexp(2000, lambda) #0.06449301


#-----------------------------------------------------------------------------------
# e) Určete pravděpodobnost, že součástka vydrží více než 35 000 hodin.

# P(X>35000)=1-F(35000)

1 - pexp(35000, lambda) #0.3114032


#-----------------------------------------------------------------------------------
# f) Určete pravděpodobnost, že součástka vydrží více než 20 000 až 30 000 hodin.

# P(20 000X< X < 30 000)= F(30 000) - F(20 000)

pexp(30000, lambda) - pexp(20000, lambda) #0.1455377


#-----------------------------------------------------------------------------------
# g) Určete dobu, do níž se porouchá 50 % součástek.

# P(X<x)=0,5 -> F(x)=0,5 -> x… 50% kvantil

qexp(0.50, lambda)   #20794.42

#Nebo:
-30000*log(0.5)
#-----------------------------------------------------------------------------------
# g) Určete dobu, kterou přežije jen 5 % součástek.

# hledáme x: P(X>x) = 0.05 => P(X<x)=0,95 -> F(x)=0,95 -> x… 95% kvantil

qexp(0.95, lambda) #89871.97

#Nebo:
-30000*log(0.05)










#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# * Weibullovo rozdělení: $X \sim W(\theta,\beta)$ ####
# - doba do 1. události (poruchy)(vhodná volba β umožuje použití v libovolném období
# intenzity poruch)
# - zobecnění exponenciálního rozdělení Exp(λ) = W(Θ=1/λ, β=1)


# Hustota pravděpodobnosti f(x)
theta = 1/2 # ekvivalent 1/lambda u exp. rozdělení
beta = 1  # beta = 1 -> exponenciální rozdělení
x = 5
dweibull(x,shape=beta, scale=theta)


# Distribuční funkce F(x) = P(X < x)
theta = 3 # ekvivalent 1/lambda u exp. rozdělení
beta = 2  # beta = 1 -> exponenciální rozdělení
x = 5
pweibull(x,shape=beta, scale=theta)



# kvantilová funkce F^(-1)(p) = x: P(X<x)=p
theta = 3 # ekvivalent 1/lambda u exp. rozdělení
beta = 2  # beta = 1 -> exponenciální rozdělení
p = 0.5
qweibull(p,shape=beta, scale=theta)

# vykreslení - kvantilová funkce F^(-1)(p) = x
p = seq(from=0, to=1, by=0.01)   
x = qweibull(p,shape=beta, scale=theta)
plot(p, x, type = 'l')
grid()




#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 3.Příklad 
# Předpokládejme, že životnost sondy na Venuši má Weibulovo rozdělení pravděpodobnosti
# (jednotkou času jsou dny) s lineárně rostoucí rizikovou funkcí a parametrem měřítka
# theta = 1/lambda = 2.


#-----------------------------------------------------------------------------------
# a) načrtněte graf rizikové funkce lambda(x)

# obecně u Weibulova rozdělení: lambda(x) = beta . lambda^beta . x^(beta-1) => beta = 2

# lambda(x) = 1/2.x pro x>0 a 0 pro x\leq 0

rizf = function(x){
  f = 0.5*x     # jinde
  f[x< 0] = 0 # 0 pro x< 0, 
  return(f)
}

# vykreslíme si Distribuční funkci
x = seq(from = -6, to = 6, by = 0.01)
rizf_x = rizf(x)
plot(x, rizf_x, type = 'l')
grid()


#-----------------------------------------------------------------------------------
# b)  Načrtněte graf hustoty pravděpodobnosti NV X -> Wb(theta =2, beta = 2)

# Hustota pravděpodobnosti f(x)
theta = 2 # ekvivalent 1/lambda u exp. rozdělení
beta = 2  # beta = 1 -> exponenciální rozdělení

# f(x) = dweibull(x,shape=beta, scale=theta)

# vykreslíme graf
x = seq(from = 0, to = 6, by = 0.01)
f_x = dweibull(x,shape=beta, scale=theta)
plot(x, f_x, type='l')
grid()


#-----------------------------------------------------------------------------------
# c) Načrtněte graf distribuční funkce NV X -> Wb(theta =2, beta = 2)

# Distribuční funkce F(x) = P(X < x)
theta = 2 # ekvivalent 1/lambda u exp. rozdělení
beta = 2  # beta = 1 -> exponenciální rozdělení

# F(x) = pweibull(x,shape=beta, scale=theta)

# vykreslíme graf
x = seq(from = 0, to = 6, by = 0.01)
F_x = pweibull(x,shape=beta, scale=theta)
plot(x, F_x, type = 'l')
grid()


#-----------------------------------------------------------------------------------
# d) Určete pravděpodobnost, že sonda přežije alespoň 3 dny


# P(X > 3) = 1 - F(3) = 

1 - pweibull(3,shape=beta, scale=theta) #0.1053992

#NEBO: 

exp(1)^(-9/4)


#-----------------------------------------------------------------------------------
# e) Odhadněte kolik dní vydrží na Venuši 90% sond.


# hledáme x : P(X > x) = 0,9 => P(X < x) = 0,1 => F(x) = 0.1 => x= 

qweibull(0.1,shape=beta, scale=theta) # 0.6491857

#NEBO: 

2*sqrt(-log(0.9))

#-----------------------------------------------------------------------------------
# f) Odhadněte pravděpodobnost, že sonda, která právě přežila 3dny nepřežije déle než dalších 10 hodin.


# Odhad obecně :   P(x < X < x+Δx | X>x) =cca= f(x)*Δx/(1 - F(x)) = λ(x)*Δx

# Odhad číselně :   P(3 < X < 3+10/24 | X>3) =cca= f(3)*10/24/(1 - F(3)) = 


dweibull(3,2,2)/(1-pweibull(3,2,2))*10/24 # 0.625


# Skutečná hodnota P(x < X < x+Δx | X>x) = (F(x+Δx) - F(x))/(1 - F(x)) = 


(pweibull(3+10/24,2,2) -  pweibull(3,2,2))/(1-pweibull(3,2,2)) # 0.4874735


#-----------------------------------------------------------------------------------
# g) Odhadněte pravděpodobnost, že sonda, která právě přežila 3dny nepřežije déle než dalších 24 hodin.


# Odhad obecně :   P(x < X < x+Δx | X>x) =cca= f(x)*Δx/(1 - F(x)) = λ(x)*Δx

# Odhad číselně :   P(3 < X < 3+24/24 | X>3) =cca= f(3)*10/24/(1 - F(3)) = 


dweibull(3,2,2)/(1-pweibull(3,2,2))*24/24 # 1.5


# Skutečná hodnota P(x < X < x+Δx | X>x) = (F(x+Δx) - F(x))/(1 - F(x)) = 


(pweibull(3+24/24,2,2) -  pweibull(3,2,2))/(1-pweibull(3,2,2)) # 0.8262261




#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# Příklad
  
  Doba přežití (měsíce) pacienta má Weibulovo rozdělení s lineárně rostoucí rizikovou funkcí 
(tj. beta = shape = 2) a parametrem měřítka (theta = scale) 50.


#-----------------------------------------------------------------------------------
# a) Jaká je hodnota rizikové funkce v 24 měsících? Jaká je pravděpodobnost, že pacient, který
#    přežil 24 měsíců, zemře v následujících 14 dnech?
  
# Odhad obecně :   P(x < X < x+Δx | X>x) =cca= f(x)*Δx/(1 - F(x)) = λ(x)*Δx

# Odhad číselně :   P(24 < X < 24 + 0,5 | X>24) =cca= f(24)*0,5/(1 - F(24)) = 


dweibull(24,2,50)*0.5/(1-pweibull(24,2,50)) # 0.0096


# Skutečná hodnota P(x < X < x+Δx | X>x) = (F(x+Δx) - F(x))/(1 - F(x))


(pweibull(24.5,2,50)-pweibull(24,2,50))/(1-pweibull(24,2,50))  # 0.009653107





#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# * Normální rozdělení: $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ####
# - rozdělení modelující např. chyby měření, chování součtu/průměru mnoha jiných
# náhodných veličin
# - viz. Centrální limitní věta
# - $\mu$ je přímo střední hodnota rozdělení: $E(X)=\mu$
# - $\sigma$ je přímo směrodatná odchyla rozdělení: $D(X)=\sigma^2$ 
# - s parametry $\mu=0,\sigma=1$ se nazývá normované Normální rozdělení


# Hustota pravděpodobnosti f(x)
mu = 2
sigma = 3
x = 4
dnorm(x, mean=mu, sd=sigma)

# vykreslíme si Hustotu pravděpodobnosti
x = seq(from = -5, to = 10, by = 0.01)
f_x = dnorm(x, mean=mu, sd=sigma)
plot(x, f_x, type='l')
grid()

# Distribuční funkce F(x) = P(X < x)
mu = 2
sigma = 3
x = 4
pnorm(x, mean=mu, sd=sigma)

# vykreslíme si Distribuční funkci
x = seq(from = -5, to = 10, by = 0.01)
F_x = pnorm(x, mean=mu, sd=sigma)
plot(x, F_x, type = 'l')
grid()

# kvantilová funkce F^(-1)(p) = x: P(X<x)=p
mu = 2
sigma = 3
p = 0.5
qnorm(p, mean=mu, sd=sigma)

# vykreslení - kvantilová funkce F^(-1)(p) = x
p = seq(from=0, to=1, by=0.01)   
x = qnorm(p, mean=mu, sd=sigma)
plot(p, x, type = 'l')
grid()



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 4.Příklad 
# Výška v populaci chlapců ve věku 3,5-4 roky má normální rozdělení se střední hodnotou
#  μ = 102 cm a směrodatnou odchylkou σ = 4,5 cm. 

# X ... výška chlapců ve věku 3.5 až 4 roky (cm)
# X ~ N(mu = 102, sd = 4.5)

mu = 102
sigma = 4.5


#-----------------------------------------------------------------------------------
# a) Určete, jaké procento chlapců v uvedeném věku
# má výšku menší nebo rovnou 93 cm.

# P(X<=93)=F(93)
pnorm(93, mean=mu, sd=sigma) #0.02275013


#-----------------------------------------------------------------------------------
# b) Určete, jakou výšku nepřekročí 75 procent chlapců v uvedeném věku.
# 
# hledáme x_{0,75} splňující : P(X < x_{0,75} ) = 0.75

qnorm(0.75, 102, 4.5)



#-----------------------------------------------------------------------------------
# c) Určete interval (102-x, 102+x) v němž je výška 95 procent všech chlapců v uvedeném věku.
# 
# (102-x, 102+x) = (x_{0,025}, x_{0,975})

qnorm(0.025, 102, 4.5) # = x_{0,975} = 93.18016
qnorm(0.975, 102, 4.5) # = x_{0,975} = 110.8198


#-----------------------------------------------------------------------------------
# c) Načrtněte graf hustoty pravděpodobnosti NV X -> N(μ,σ) = N(102,4.5)


x = seq(from = 0, to = 204, by = 1)
fx = dnorm(x,102,4.5)
plot(x,fx,type="l")
grid()


#-----------------------------------------------------------------------------------
# d) Načrtněte graf distribuční funkce NV X -> N(μ,σ) = N(102,4.5)


x = seq(from = 0, to = 204, by = 1)
Fx = pnorm(x,102,4.5)
plot(x,Fx,type="l")
grid()







# Příklady na procvičení:



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 5.Příklad 
# Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Veličina Y představující
# dobu čekání na poruchu má exponenciální rozdělení. Určete dobu T0 tak, aby
# pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat delší dobu než T0, byla 0,99.


# X ... doba čekání na poruchu (h)
# X ~ Exp(lambda), kde E(X)=1/lambda
lambda = 1/2000

#P(X>t)=0,99 -> 1-F(t)=0,99 -> F(t)=0,01 -> t… 1% kvant.

qexp(0.01, lambda)  #20.10067


#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 6.Příklad 
# Při kontrole jakosti přebíráme součástku pouze tehdy, jestliže se její rozměr pohybuje
# v rozmezí 26-27 mm. Rozměry součástek mají normální rozdělení se střední hodnotou 26,4
# mm a směrodatnou odchylkou 0,2 mm. Jaká je pravděpodobnost, že rozměr součástky
# náhodně vybrané ke kontrole bude v požadovaných mezích?


# X ... rozměr součástky (mm)
# X ~ N(mu =  26.4,sigma = 0.2)

mu = 26.4
sigma = 0.2

#P(26<X<27)=F(27)-F(26)
pnorm(27, mean=mu, sd=sigma) - pnorm(26, mean=mu, sd=sigma)


#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 7.Příklad 
# Výsledky měření jsou zatíženy jen normálně rozdělenou chybou s nulovou střední
# hodnotou a se směrodatnou odchylkou 3 mm. Jaká je pravděpodobnost, že při 3 měřeních
# bude alespoň jednou chyba v intervalu (0 mm; 2,4mm)?


# Y… velikost chyby měření (mm)
# Y ~ N(mu = 0,sigma = 3)

mu = 0
sigma = 3

# pp… pravd., že chyba měření bude v int. 0,0-2,4mm
pp = pnorm(2.4,mean=mu,sd=sigma) - pnorm(0,mean=mu,sd=sigma)
pp

# X … počet chyb měření v int. 0 mm -2,4 mm ve 3 měř.
# X ~ Bi(n = 3,p = pp)
n = 3
p = pp

# P(X>=1)=1-P(X=0)
1 - dbinom(0, n, p)


#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 8.Příklad 
# Ve velké počítačové síti se průměrně přihlašuje 25 uživatelů za hodinu. Určete
# pravděpodobnost,
# že:
# ** a)  ####
# se nikdo nepřihlásí během 14:30 - 14:36,


# X … počet uživatelů přihlášených za 6 minut
# X ~ Po(lt = 2.5)

lambda = 25/60
t = 6
lt = lambda*t

# P(X=0)
dpois(0, lt)

# ** b)  ####
# do dalšího přihlášení uběhnou 2-3 minuty.


# Y … doba do dalšího přihlášení
# Y ~ Exp(lambda = 25/60), kde E(X)=1/lambda
lambda = 25/60 

# P(2<Y<3)=F(3)-F(2)
pexp(3, lambda) - pexp(2, lambda)

# ** c) ####
# Určete maximální délku časového intervalu tak, aby pravděpodobnost, že se nikdo
# nepřihlásí byla alespoň 0,90.


# P(Y>t)=0,90 -> 1-F(t)=0,90 -> F(t)=0,10 -> t…10% kv.

qexp(0.10, lambda) # = 0.2528652 minut = 0.2528652*60 = 15.17191 sekund

qexp(0.1, 25/60)



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 9.Příklad 
# Předpokládejme, že svítivost hvězdy (ve vhodných jednotkách) je náhodná veličina X
# a má normální rozdělení N(µ; σ), kde µ = 10 a σ = 1 Určete svítivost, již překoná pouze 
# 10 procent hvězd.


#X...svítivost hvězdy

# X -> N(\mu = 10; \sigma = 1)

# hledáme x_0:  P(X > x_0) = 0,1

#               P(X < x_0) = 0,9

#                   F(x_0) = 0,9

#                      x_0 = F^{-1}(0,9) = qnorm(0.9, 10, 1)


qnorm(0.9, 10, 1) #11.28155

#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 10.Příklad 
# Náhodná veličina X má normální rozdělení N(µ; σ). Určete:
# ** a) ####
# P(µ − 2σ < X < µ + 2σ),


# P(µ − 2σ < X < µ + 2σ) = F(µ + 2σ) - F(µ - 2σ)
# X~N(µ,σ)
# je jedno jaké hodnoty zvolíme
mu = -105.5447 
sigma = 2.654

pnorm(mu + 2*sigma, mean=mu, sd=sigma) - 
pnorm(mu - 2*sigma, mean=mu, sd=sigma)

# ** b) ####
# nejmenší k ∈ Z, tak, aby P(µ − kσ < X < µ + kσ) > 0,99.


# normální rozdělení je symetrické 
# P(µ − kσ < X < µ + kσ) = 
# = 1 - (P(X < µ − kσ ) + P(X > µ + kσ)) = 
# = 1 - 2*P(X > µ + kσ) = 0.99 -> P(X > µ + kσ) = 0.005
# -> P(X < µ + kσ) = 0.995

# x = µ + kσ
x = qnorm(0.995, mean=mu, sd=sigma)
(x - mu)/sigma

for(k in 1:5){
    p = pnorm(mu + k*sigma, mean=mu, sd=sigma) - 
        pnorm(mu - k*sigma, mean=mu, sd=sigma)
    print(paste0(k,":",p))
}



#-----------------------------------------------------------------------------------
#-----------------------------------------------------------------------------------
# 11.Příklad 
# Délka skoků sportovce Jakuba měřená v cm má normální rozdělení N(µ1; σ1), kde µ1 = 690
# a σ1 = 10. Délka skoků sportovce Aleše měřená v cm má také normální rozdělení N(µ2;
# σ2), kde µ2 = 705 a σ2 = 15. Na závody se kvalifikuje ten, kdo ze dvou skoků alespoň
# jednou skočí více než 700 cm.


# SJ ... délka skoku Jakuba
# SJ ~ N(mu = 690,sigma = 10)
mu_J = 690
sigma_J = 10

# SA … délka skoku Aleše
# SA ~ N(mu = 705,sigma = 15)
mu_A = 705
sigma_A = 15

# J...Jakubův skok je úspěšný (delší než 700 cm)
# A...Alešův skok je úspěšný (delší než 700 cm)

# P(J)=P(SJ>700)=1-F(700)
P.J = 1-pnorm(700,mean=mu_J,sd=sigma_J)
P.J

# P(A)=P(SA>700)=1-F(700)
P.A = 1-pnorm(700,mean=mu_A, sd=sigma_A)
P.A

# KJ … Jakub se kvalifikuje na závody, 
# P(KJ) = 1-(1-P(J))(1-P(J))
P.KJ=1-(1-P.J)*(1-P.J)
P.KJ

# KA … Aleš se kvalifikuje na závody, 
# P(KA) = 1-(1-P(A))(1-P(A))
P.KA=1-(1-P.A)*(1-P.A)
P.KA

# ** a) ####
# S jakou pravděpodobností se oba dva kvalifikují na závody?


# ada)
P.KJ*P.KA

# ** b) ####
# S jakou pravděpodobností se kvalifikuje Aleš, ale Jakub ne?


# adb)
(1-P.KJ)*P.KA