Instrukce k samostudiu (2. část semestru) a dobrovolné domácí úkoly
Týden 13. :
Téma: Homomorfismy okruhů a automorfismy.
Samostudium: 13 pr Homomorfismy okruhu a 13cv Automorfismy. Projděte si důkazy i všechny příklady ze cvičení!
Co by jste měli po přečtení vědět a umět:
- Definice homomorfismu okruhů, jeho jádra, monomorfismu, epimorfismu, izomorfismu okruhů a automorfismu těles.
- Základní vlastnosti homomorfismů okruhů (oborem hodnot je podtěleso, jádro je ideál, faktorový okruh podle jádra je izomorfní s oborem hodnot)
- Základní vlastnosti automorfismů (nula na nulu, jednička na jedničku)
- Najít všechny automorfismy tělesa Q(√p) na sebe (p je třeba nějaké prvočíslo ).
Zadání DU: tento týden již DU není, učte se na písemku
Týden 12. :
Téma: Obor integrity a těleso.
Samostudium: 12 pr Obor integrity a Teleso a 12cv Obor integrity a Teleso. Projděte si důkazy i všechny příklady ze cvičení!
Co by jste měli po přečtení vědět a umět:
- Definice Oboru integrity a Tělesa
- Souvislost mezi okruhy, obory integrity, tělesy a konečnými tělesy (které struktury jsou speciálními případy kterých?).
- Znát okruh polynomů Z_n[x], jeho faktorový okruh podle jeho ideálu 〈p(x)〉 a umět sčítat a násobit jeho prvky.
Zadání DU: DU5 Obor integrity a těleso
Termín: DU odevzdejte nejpozději 19.5. 2020
Návody: Po pečlivém prostudování 12 pr Obor integrity a Teleso a 12cv Obor integrity a Teleso by mělo být vypracování DU snadné. ZEPTEJTE SE NA KONZULTACÍCH NA TO, CO NENÍ JASNÉ.
Týden 11. :
Téma: Ideály a faktorové okruhy.
Samostudium: 11 pr Ideal a faktorovy okruh a 11cv Ideal a faktorovy okruh. Projděte si důkazy i všechny příklady ze cvičení!
Co by jste měli po přečtení vědět a umět:
- Co je to ideál.
- Jak poznat, zda je podmnožina nosné množiny okruhu spolu s restrikcemi jeho operací na sebe ideálem v tomto okruhu i jinak než podle definice (druhá věta v 11 pr Ideal a faktorovy okruh).
- Zkonstruovat faktorový okruh daného okruhu podle jeho ideálu.
- Provádět operace sčítání a násobení s prvky faktorového okruhu
- Znát faktorový okruh okruhu celých čísel podle jeho ideálu nZ a uvědomit si, že jde o okruh zbytkových tříd modulo n (Z_n, +, .).
- Znát okruh polynomických funkcí R[x], jeho faktorový okruh podle jeho ideálu 〈p(x)〉 a umět sčítat a násobit jeho prvky. Uvědomit si, že jde o analogii se (Z_n, +, .), kde místo celých čísel a jejich zbytků po dělení číslem n uvažujeme polynomy s reálnými koeficienty a jejich zbytky po dělení polynomem p(x).
Zadání DU: DU4 faktorove okruhy
Termín: DU odevzdejte nejpozději 12.5. 2020
Návody: Po pečlivém prostudování 11 pr Ideal a faktorovy okruh a 11cv Ideal a faktorovy okruh by mělo být vypracování DU snadné. ZEPTEJTE SE NA KONZULTACÍCH NA TO, CO NENÍ JASNÉ.
Týden 10. :
Téma: Okruhy a podokruhy.
Samostudium: 10 pr Okruhy a podokruhy a 10cv Okruhy a podokruhy. Projděte si důkazy i všechny příklady ze cvičení!
Co by jste měli po přečtení vědět:
- Uspořádaná trojice (A,+, . ) je okruh, právě když (A, +) je komutativní grupa, (A, . ) je pologrupa a násobení je distributivní vzhledem ke sčítání z leva i z prava.
- Alespoň čtyři konkrétní příklady okruhů.
- Neutrální prvek v (A, +) značíme 0 a ,existije-li, neutrální prvek v (A, . ) značíme 1
- Pro každé a,b,c z okruhu (A,+, . ) platí:
1. a.0 = 0.a = 0
2. a.(-b) = (-a).b = -(a.b)
3. (-a).(-b) = a.b
4. a.(b - c) = a.b - a.c
- Definici podokruhu
- (S,+, . ), kde S je neprázdná podmnožina množiny A je podokruhem okruhu (A,+, . ) právě když platí:
1. Pro každé a,b z S : a - b patří do S.
2. Pro každé a,b z S : a.b patří do S.
Zadání DU: DU okruhy a podokruhy
Termín: DU odevzdejte nejpozději 5.5. 2020
Návody: Po pečlivém prostudování 10 pr Okruhy a podokruhy a 10cv Okruhy a podokruhy by mělo být vypracování DU snadné
Týden 9. :
Téma: Grupa permutací
Samostudium: 9 pr Grupa permutaci cast1 , 9 pr Grupa permutaci cast2, 9cv Grupa permutaci
Týden 8. :
Téma: Cyklické grupy
Samostudium: 8 pr Cyklicke grupy II , 8cv Cyklicke grupy II
Týden 6. a 7. :
Téma: Izomorfismy grup a cyklické grupy.
Samostudium: 6 pr Izomorfismy grup, 6cv Izomorfismy grup, 7 pr Cyklická grupaI a 7cv Cyklická grupaI. Projděte si důkazy!
Co by jste měli po přečtení vědět:
- Izomorfismus je podle definice bijektivní homomorfismus.
- Izomorfní grupy mají stejnou strukturu.
- Izomorfismus "zachovává" podgrupy i jejich normalitu.
- Izomorfismus "zachovává" řád prvku.
- Izomorfismus proto "zachovává cykličnost" grupy. To jest, izomorfním obrazem cyklické grupy je zase cyklická grupa.
- Cayleyho věta říká, že každá grupa je izomorfní s nějakou podgrupou grupy permutací jejích prvků.
- Každá cyklická grupa konečného řádu n je izomorfní se (Z_n, +), tj. s aditivní grupou zbytkových tříd modulo n.
- Každá cyklická grupa nekonečného řádu je izomorfní se (Z, +), tj. s aditivní grupou celých čísel.
- Takže, chceme-li prostudovat cyklické grupy, stačí prostudovat vlastnosti (Z_n, +) a (Z, +).
Zadání DU: DU izomorfismy
Řešení DU:DU2 izomorfismy a reseni
Termín: DU odevzdejte nejpozději 28.4. 2020
Návody: Návody naleznete přímo v zadání domácích úkolů.
Týden 5. :
Téma: homomorfismy grup.
Samostudium: 5 pr Homomorfismy grup a 5cv Homomorfismy grup
Zadání DU: DU homomorfismy
Termín: DU odevzdejte nejpozději 21.4. 2020
Návody:
- Prostudujte 5 pr Homomorfismy grup a 5cv Homomorfismy grup
- V případě, že vám v bodě a) vyjde, že f(A+B) = f(A) + f(B), respektive f(A.B) = f(A) . f(B), neznamená to, že f je homomorfismem. Nestačí tuto rovnost dokázat pro konkrétní dvojici matic A a B, ale pro libovolnou dvojici matic A a B! Pokud se vám důkaz nedaří, zvažte možnost, že to není homomorfismus. Aby jste prokázali tuto hypotézu, stačí najít byť jen jedinou dvojici matic A a B pro kterou neplatí f(A+B) = f(A) + f(B), respektive f(A.B) = f(A) . f(B)
- Ker f, neboli jádro homomorfismu f je množina prvků, které zobrazení f zobrazí na neutrální prvek (u sčítání matic jím je... ,u násobení matic jím je...). S pojmem jádro jste se setkali už v Lineární algebře u Lineárních zobrazení - jsou speciálním případem homomorfismů.
- Ker f je normální podgrupa. Tvořit rozklad podle podgrupy jste se již učili. Pokud jste zapoměli, koukněte zde: 3cv Rozklady grup a Lagrangeova veta a zde: 2cv Rozklad grupy podle podgrupy
- Podle poslední věty zde: 5 pr Homomorfismy grup je faktorová grupa G_1/Ker f izomorfní s f(G_1). Pokud G_2 = f(G_1), je jasno.
Řešení DU: DU1 homomorfismy a reseni