Projects

Title

Mathematical Modelling and Development of Algorithms for Computationaly Intensive Engineering Problems XII

Code

SP2026/050

Summary

1. Úvod Předkládaný projekt se zabývá výzkumem, který probíhá na Katedře aplikované matematiky, v oblasti numerické analýzy, paralelních řešičů, molekulových simulací, stability dynamických systémů a diskrétní matematiky. Navazuje na předchozí projekt SGS s názvem "Matematické modelování a vývoj algoritmů pro výpočetně náročné inženýrské úlohy XI". 2. Cíle projektu Primárním cílem projektu je podpořit studenty doktorského a magisterského studijního programu Výpočetní matematika formou stipendií a aktivní účasti na významných konferencích. Chceme prohloubit jejich účast na katedrálním výzkumu. Dalším cílem projektu je rozvinout výzkum v nových perspektivních oblastech matematiky pro supercomputing. Jedná se zejména o • časo-prostorové konečně-prvkové a hraničně-prvkové diskretizace parciálních diferenciálních rovnic (PDR), • analýza dynamických systémů, • molekulové simulace. Navážeme také na tradiční témata řešená na katedře: • metody rozložení oblasti • a algoritmy pro kvadratické programování. 3. Historie týmu Předkladatel je docentem na Katedře aplikované matematiky, vedoucím fakultní odborné skupiny Numerická analýza a HPC a garantem doktorského studijního programu Výpočetní a aplikovaná matematika. Řešitelský tým je složen ze 17 zaměstnanců, 8 doktorandů a 10 Mgr. studentů oboru Výpočetní matematika. Projekt pokrývá dvě fakultní odborné skupiny, a to Numerická analýza+HPC a Matematická analýza+diskrétní matematika. 4. Struktura projektu a postup řešení a) Matematické modelování, numerické metody PDR Řešitelský tým: Lukáš, Merta, Vlach, Kovář, Kovářová, Vondráková, Machaczek a Mgr. studenti Budeme pokračovat v modelování inženýrských úloh parciálními diferenciálními rovnicemi a ve vývoji metod jejich numerického řešení. Uvažujeme diskretizace metodami konečných (FEM) i hraničních (BEM) prvků a paralelizaci prostředky doménové dekompozice. Po předchozí úspěšné implementaci metody hraničních prvků, zejména nového operátorového předpodmínění, na GPU akcelerátorech se budeme zabývat metodou hraničních prvků vyššího řádu, která vede na exponenciální konvergenci aproximací (dizertace Z. Machaczka). Budeme druhým rokem pokračovat (v rámci vedení absolventských prací, kroužku pro středoškoláky a dalších popularizačních aktivit) v programování numerických metod na mikrokontrolérech jako např. Raspberry Pi Pico s aplikacemi v kolaborativní robotice (robotická ruka hrající s člověkem šachy, nebo řešící Rubikovu kostku), aeronautice (LQ regulace mikro-dronu) a zpracování signálů (rychlá Fourierova transformace, syntetizátor). V oblasti diskrétní matematiky budou navrženy designy (pokrytí kompletních grafů pomocí klik velikosti 3, 4 a 5 a nově singletonů 1 předepsaných řádů pro srovnání cyklickými metodami zokladů. Designy slouží jako vstup pro numerické řešení úloh na rozsáhlých hustých maticích na superpočítači. Signletony odpovídají diagonálním výpočetně nejnáročnějším blokům hustých matic. Bude nalezena konstrukce magických typů ohodnocení (EDM) pro některé třídy grafů (například kompletní bipartitní grafy), nalezeny budou i některé nutné podmínky existence. b) Optimalizace, kontaktní úlohy Řešitelský tým: Beremlijski, Horák, Dostál, Béreš, Bouchala, Bailová, Kružík, Růžička, Ondro, Krpelík a Mgr. studenti Budeme pokračovat ve vývoji PERMON toolboxu (D. Horák, J. Kružík, A. Růžička) se zaměřením na předpodmínění MPRGP algoritmu, implementaci a analýzu efektivnějších expanzních kroků MPRGP algoritmu využívajících informace z předešlého kroku (heavy ball method), analýzu ukončovacích kritérií MPRGP jakožto vnitřního řešiče SMALSE algoritmu, efektivitu použití Moore-Penroseovy pseudoinverze místo standarního projektoru na jádro matice přirozené hrubé sítě v TFETI metodě. Chceme rozvíjet problematiku simulací sypkých hmot s využitím FETI (A. Růžička) a rychlých ortogonalizačních algoritmů využitelných ve FETI metodách. V příštím roce využijeme modelu kamery pro identifikaci polohy, natočení a ohniskové vzdálenosti kamery. K tomu využijeme kombinaci optimalizačních metod a neuronové sítě. Také budeme pokračovat v řešení úloh proudění a kontaktních úloh se třením. Pro oba typy úloh budeme řešit i úlohy tvarové optimalizace. Nově se budeme zabývat modelováním dynamických efektů ve výkonových transformátorech (dizertace D. Krpelíka). c) Dynamické systémy a molekulové simulace Řešitelský tým: Kalus, Lampart, Lampartová, Bílek, Ptáček, Ćosićová a Mgr. studenti V oblasti molekulových simulací a) vyvineme prostředky pro analýzou spolehlivosti algoritmů diabatizace elektronových bází pomocí umělých neuronových sítí s využitím vybraných metod matematické statistiky (shluková analýza, analýzy hlavních komponent), b) provedeme výpočty související s vývojem diabatického modelu interakcí v komplexu N2+/He a pilotní testy modelu, c) provedeme výpočty a návazné implementační práce vedoucí k modelu interakcí ve směsných iontových klastrech vzácných plynů založených na lokalizaci náboje. Nové směry výzkumu oblasti dynamických systémů budou nově: 1) ekonomické modely zohledňující společenskou odpovědnost a míru zdanění, 2) analýza dynamiky neomezených trajektorii motivovaných reálnými strojírenskými soustavami. U těchto systémů budeme studovat iregularitu a iregularitu trajektorií, stabilitu, multistabilitu, skryté atraktory a chaos v závislosti na řídících parametrech. K testování, kvalifikacím a kvantifikacím dynamických vlastností bude použito např. testu chaosu 0-1, aproximační či vzorkovací entropie.

Start year

2026

End year

2026

Provider

Ministry of Education, Youth and Sports