Práce se zabývá návrhem algoritmu pro efektivní paralelní řešení elasto-plastických problémů se zpevněním, který je založený na metodě rozložení oblasti typu TFETI. V práci jsou uvažovány tři různé elasto-plastické modely: von Mises model s izotropním zpevněním, von Mises model s kinematickým zpevněním a Drucker-Prager dokonale plastický model. Tyto modely jsou v čase diskretizovány implicitní Eulerovou metodou a výsledný elasto-plastický problém jednoho časového kroku je diskretizovaný metodou konečných prvků. Výsledkem po prostorové diskretizaci je systém nelineárních rovnic s rovnostními nebo nerovnostními omezeními. Pro řešení tohoto nelineárního systému je použita semi-hladká Newtonova metoda. Odpovídající linearizované problémy vznikající v každé Newtonově iteraci jsou řešeny paralelně metodou TFETI.

Navržený algoritmus byl implementován paralelně v Matlabu a jeho efektivita včetně paralelní a numerické škálovatelnosti jsou ilustrovány na příkladech elasto-plastického chování ve 2D a 3D. Dále jsou v práci prezentovány a diskutovány numerické výsledky pro různé časové diskretizace a úrovně zjemnění sítě a také je zde pozorována lokální kvadratická konvergence semi-hladké Newtonovy metody.

Numerické řešení mnoha inženýrských úloh vede na minimalizaci konvexní kvadratické funkce s rovnostními popř. nerovnostními omezeními – tzv. úlohu kvadratického programování. Tato práce se zabývá vývojem a implementací algoritmů s obrovským počtem neznámých pro úlohy kvadratického programování zejména s nerovnostními omezeními složitějšími než lineárními jako jsou např. kontaktní úlohy se třením se sférickými či eliptickými nerovnostními omezeními, nebo úlohy granulární dynamiky využívající metodu diskrétních prvků (DEM) nebo diferenciální variační nerovnice (DVI) - viz. obrázek. V DVI metodě úloha kvadratického programování s lineárním nerovnostním omezením musí být řešena v každém časovém kroku simulace, neznámými zde jsou normálové kontaktní síly mezi tělesy. V případě, že uvažujeme i Coulombovské tření, obržíme úlohu kvadratického programování se separovatelnými kónickými omezeními, odpovídající neznámé pak reprezentují třecí kontaktní síly. Efektivita jednotlivých algoritmů implementovaných v CUDĚ byla porovnána na řadě testovacích benchmarků.

Aktivní výzkum metody hraničních prvků (BEM) v průběhu posledních desetiletí umožnil tuto metodu použít v oblasti tvarové optimalizace, kde je třeba mnohokrát vyřešit danou stavovou úlohu modelující například šíření tepla či problémy elektrostatiky. V dizertační práci je představen algoritmus pro řešení úloh tvarové optimalizace založený na BEM, který může posloužit také pro řešení inverzních problémů včetně tzv. Bernoulliho úlohy s volnou hranicí. Pro diskretizaci návrhových proměnných, tedy hledaných tvarů, je použita metoda hierarchických sítí dobře známá z počítačové grafiky. V práci je rovněž popsána efektivní implementace BEM pro moderní procesory, které se běžně vyskytují v HPC prosředích a umožnují paralelismus na několika úrovních. Teoretická část práce je podpořena numerickými experimenty prokazujícími škálovatelnost navržených přístupů a efektivitu hierarchického algoritmu.

Dizertační práce byla oceněna Cenou Josepha Fouriera v oblasti počítačových věd a Cenou Prof. Babušky za rok 2017.