Snaha o dosažení toho nejlepšího výsledku je přirozenou a důležitou součástí našich životů. Podobně je oblast zaměřená na řešení optimalizačních úloh přirozenou a důležitou součástí studia výpočetní a aplikované matematiky. S optimalizačními úlohami se velmi často setkáme při řešení praktických úloh, když chceme dosáhnout co nejlepšího výsledku v rámci našich možností, např. při hledání optimálního tvaru tělesa (úloha tvarové optimalizace) nebo obecněji hledání optimálního nastavení parametru daného systému (úloha optimálního řízení).

V této oblasti se studenti seznámí s teoretickými poznatky nutnými pro řešení optimalizačních úloh, naučí se používat řadu optimalizačních metod pro řešení optimalizačních úloh a vše nakonec aplikují při řešení reálných optimalizačních úloh.

Modelování a simulace fyzikálních polí jako např. rozložení napětí v mechanických konstrukcích, rozložení teploty v rodinném domě, šíření ultrazvukových vln při hledání materiálových poruch, nebo rozložení sil při deformaci plechů elektromagnetickým polem patří mezi hlavní úkoly při vývoji nových prototypů v průmyslu, s nímž naše katedra spolupracuje v rámci několika projektů. Modely zde uvažované se opírají o soustavy parciálních diferenciálních rovnic např. Lamého rovnice mechaniky, Helmholtzova rovnice akustiky, nebo Maxwellovy rovnice popisující elektromagnetismus. Pro jejich řešení je nutné použít metody numerické matematiky, typicky metody konečných prvků, konečných objemů a hraničních prvků. Tyto metody jsou již implementovány v mnoha komerčních i open-source software. Naštěstí pro nás matematiky  jsou požadavky průmyslu často za hranou použitelnosti dostupného software, neboť ten musí být robustní vůči chybám, a proto pokrývá pouze základní varianty metod. Pro řešení takových úloh nezbývá než najmout matematika, který dokáže využít specifika úlohy (periodicita, vysoká frekvence) a vyvinout numerickou metodu na míru.

Na našem oboru se snažíme vychovat odborníky, kteří vidí souvislosti mezi fyzikou, matematikou a kteří dokáží numerické metody efektivně implementovat na paralelním počítači. K tomu jsou vedle základních kurzů fyziky a matematiky určeny předměty Lineární algebra s Matlabem, Numerické metody 1, 2, 3, Iterační metody, Matematické modelování elektromagnetických polí a Paralelní programování.

Příklady bakalářských prací

• V. Sokol: Simulace 1-rozměrné vlny při protržení přehrady
• M. Kramář: Akustika flétny
• P. Puskiewicz: Počítačová simulace klopného obvodu
• V Ryška: Matematické modelování znečištění ovzduší

Příklady diplomových prací

• M. Hasal: Numerické řešení Navierových-Stokesových rovnic pomocí metody konečných prvků
• J. Zapletal: Řešení Helmholtzovy úlohy pomocí metody hraničních prvků
• M. Mrovec: Numerické modelování elektronických struktur

Potřeba řešit rozsáhlé úlohy, jakými jsou např. numerické simulace reálných problémů, nebo řešit tyto úlohy rychleji, si vyžaduje nasazení superpočítačů. Jejich vývoj znamená i neustálé přehodnocování efektivity algoritmů, které jsou implementovány a optimalizovány pro danou architekturu. Například algoritmus, který je efektivní na sekvenčním počítači, může být velice neefektivní na počítači paralelním a naopak. Příkladem jsou efektivní řešiče kontaktních úloh mechaniky kombinující efektivní algoritmy kvadratického programování s metodami rozložení oblasti zejména FETI typu, s oběma má Katedra aplikované matematiky dlouholeté zkušenosti. Navržené a paralelně implementované a optimalizované řešiče vykazují jak vysokou paralelní škálovatelnost, tj. urychlení výpočtu úměrně počtu použitých výpočetních jader, tak škálovatelnost numerickou, tj. nezávislost počtu iterací na velikosti úlohy, která je výsadou jen těch nejlepších algoritmů. Studenti s tímto zaměřením budou zapojeni do aktuálního výzkumu týkajícího se vývoje těchto algoritmů a do tvorby open-source knihovny PERMON (viz http://permon.vsb.cz), která je budována nad celosvětově uznávaným nástrojem pro paralelní vědecké výpočty PETSc.

Příklady bakalářských prací

• J. Kružík: Paralelizace hrubého problému TFETI-1 metody
• R. Sojka: Paralelní implementace ortogonalizace matice
• J. Tomčala: Paralelní implementace řešení modelové lineární úlohy metodou FETI-DP
• L. Malý:  Metody rozložení oblasti s předpodmíněním

Příklady diplomových prací

• L. Mihula: Multifrontální metoda pro řešení rozsáhlých řídkých soustav lineárních rovnic
• M. Beseda: Optimální konfigurace FETI řešičů v HPC
• M. Pecha: Techniky segmentace obrazu v prostředí HPC a jejich aplikace
• R. Sojka: Hybridní paralelizace TFETI-1 metody
• M. Kravčenko: Paralelní metody hraničních prvků
• D. Horák: Parallel Implementation of Duality-Based Domain Decomposition with Natural Coarse Space for Model Variational Inequality

Prakticky vše, co se odehrává ve světě okolo nás, je do jisté míry náhodné. Někdy je vliv náhody tak malý, že jej zcela zanedbáváme a pro modelování příslušných dějů používáme deterministické  modely. V řadě situací je ale náhodný  prvek natolik významný, že je nutné jej do příslušných modelů zahrnout. K  tomuto je v matematice nejčastěji používán aparát teorie pravděpodobnosti.

Matematická statistika pak nabízí prostředky, kterými lze z dat (pozorovní, měření, historické zkušenosti, ...) získat informace o náhodných složkách v modelu a náhodu do jisté míry "zkrotit". V reálných úlohách z praxe je ale  náhodná složka modelu často natolik složitá, že data nelze rozumně zpracovat pomocí běžných statistických nástrojů dostupných v komerčních softwarových produktech. Na řadu pak  přichází pravděpodobnostní modely šité na míru konkrétním problémům a výpočetně náročné statistické metody uzpůsobené pro tyto modely.

Příklady bakalářských prací

• P. Šenk: Využití statistických metod ve fotbale
• O. Slavíček: Moderní analýza medicínských dat v praxi
• S. Domesová: Modelování pohotovosti systému metodou Monte Carlo
• L. Vozárová: Využití metod časoprostorové analýzy v praxi

Příklady diplomových prací

• P. Kozielová: Variační bayesovské metody
• M. Koběrský: Po částech lineární regrese
• D. Krpelík: Sekvenční Monte Carlo metody
• A. Jelínková: Neparametrické a semi-parametrické metody v analýze přežití

Pomocí teorie grafů se řeší notoricky známé úlohy hledání nejkratších cest nebo maximálních toků v produktových sítích. Ale teorii grafů využívají naši studenti i při řešení dalších atraktivních problémů z praktického života: řada studentských prací se věnuje návrhu různých rozlosování jednotlivých kol sportovních turnajů. Pomocí grafů studenti modelovali hlavolamy a deskové hry, hledali nebo porovnávali různé strategie. A třeba pomocí barvení grafů lze sestavovat optimální signální plány křižovatek.

Diskrétní matematika zažívá svůj rozmach od nástupu výpočetní techniky. Podstatu praktického problému můžeme často popsat pomocí celočíselných veličin a řešení se může nacházet v sice ohromné, avšak konečné množině. Pomocí metod diskrétní matematiky se pak snažíme najít nejlepší řešení, aniž bychom museli probírat všechny možnosti. Do diskrétní matematiky spadá i teorie kódování. Vhodné kódy pro přenos nebo uložení informace hledáme tak, aby co nejlépe odpovídaly specifickým požadavkům praxe.

Příklady bakalářských prací

• P. Hoffmanová: Laplaceova matice vybraných tříd grafů
• J. Salamon: Samoopravné kódy a jejich aplikace
• S. Linhartová: Vybrané hry pohledem diskrétní matematiky

Příklady diplomových prací

• A. Silber: Optimalizace cest ve skladu
• K. Volná: Aplikace metod diskrétní matematiky při sestavování rozpisů sportovní střelecké soutěže